Movimiento Relativo
de Traslación Uniforme
Cuando se introduce en clase el movimiento relativo, se empieza el tema resolviendo problemas sencillos e intuitivos para cuyo planteamiento no se requiere una explicación detallada del concepto de velocidad relativa.
Ejemplo 1
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.
- Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).
- Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
- Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote
respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s.
- Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la
velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.
- El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c)
- El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)
El tiempo total es
Con los datos del problema t=800/7=114.3 s.
Ejemplo 2
Ahora, vamos a hacer que el bote atraviese el río y vuelva al punto de partida.
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s.
- ¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?
- Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra.
- Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte.
El resultado de la suma V=v+c es
Vj=(v·cosθ i+v·senθ j)+ci
o bien,
0=c+v·cosθ
V=v·senθ
- El ángulo θ se calcula a partir de la primera ecuación cosθ=-c/v.
- La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda ecuación, o bien, como el cateto V del triángulo rectángulo formado por la hipotenusa v y el otro cateto c.
- El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje será
Con los datos del problema,
- La velocidad del bote respecto de tierra es de
.
- El ángulo que forma la proa del bote con la dirección este-oeste es θ=138.6º.
- El tiempo total de viaje será t=2·37.6=75.6 s
Ejemplo 3
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el norte θ=90º con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.
- Calcular la velocidad del bote respecto de tierra
- Si el río tiene una anchura de d=100 m, calcular el tiempo necesario para cruzarlo.
- ¿Cuál es la desviación hacia el este del bote cuando llega a la otra orilla del río?
- ¿Cómo debe dirigirse el barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta regrese al punto O de partida?
- Calcular el tiempo que tarda en volver al punto de partida
La velocidad del bote respecto de tierra V es la suma vectorial de la velocidad del bote respecto del agua v (cuando el agua está quieta) y la velocidad de la corriente de agua respecto de tierra c.
El resultado de la suma V=v+c es
Vsenα i+ Vcosα j=ci+vj
El módulo del vector resultante V es
y forma un ángulo α con la dirección norte-sur
- El tiempo que tarda en el viaje de ida es t1=d/v,
- La desviación hacia el este es x=c·t1=c·d/v. O bien, en el triángulo rectángulo de la figura tenemos que x=d·tanα=d·c/v.
Con los datos del problema
- La velocidad del barco respecto de tierra es V=5 m/s y su orientación respecto de la dirección norte-sur es α=36.9º.
- El tiempo que tarda en cruzar el río es t=25 s.
- El desplazamiento hacia el este del barco al llegar a la otra orilla es x=75 m.
La siguiente pregunta ya no es tan fácil. ¿Con qué ángulo debe orientarse la proa del barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta regrese el punto O de partida?.
Como puede verse en la figura tenemos que calcular el ángulo β de la dirección de la velocidad v del barco respecto de la corriente para que la velocidad del barco respecto de tierra V forme un ángulo α (calculado anteriormente) con la dirección norte-sur.
El resultado de la suma V=v+c es
-V·senα i+ -V·cosα j=-v·senβ i-v·cosβ j +c i
o bien,
V·senα=v·senβ-c
V·cosα= v·cosβ
con tanα=c/v
No resulta difícil demostrar que β=2α. Para ello, se han de emplear las relaciones trigonométricas conocidas
El tiempo que tarda el barco en regresar al punto de partida O es
Para demostrarlo, se ha empleado la relación trigonométrica 1+tan2α=1/cos2α
El tiempo total de viaje
Con los datos del problema tenemos
- El ángulo que forma la proa del barco con la dirección este-oeste es θ=90+β=90+2α=163.8º
- El tiempo de viaje de de vuelta t2=89.3 s y el total t=25+89.3=114.3 s
Comparación de los tres
ejemplos
El tiempo del viaje de ida (t1=25 s) en el tercer ejemplo es el mínimo para cruzar el río, es menor que en el segundo ejemplo (t1=37.6 s). Pero el viaje de vuelta en el tercer ejemplo (t2=89.3 s) es de mayor duración que en el segundo ejemplo (t2=37.6 s). Por lo que el tiempo de viaje de ida y vuelta en el segundo ejemplo (t=75.6 s) es menor que en el tercer ejemplo (t=114.3 s) y es el mínimo que se emplea en cruzar el río.
El tiempo de viaje del primer ejemplo (t=114.3 s) es igual al tiempo de viaje en el tercer ejemplo.